知识导学

我们在前面已经了解了集合的基本概念和它的一些基本的性质，和数一样集合也可以进行运算．在高中阶段我们主要研究集合的交、并、补集的简单运算以及相关的运算性质．

因为集合的运算是在子集、全集、补集、空集的概念基础之上而来的，所以在研究集合的运算之前我们先来看它们的概念．若，则B包含A(或A包含于B)，A是B的子集，记做，若A是B的子集的同时，又有A¹B，则A是B的真子集，记做AB．

全集就是说如果某一个集合含有我们要研究的集合的全体，我们就把它称为一个全集．全集的概念一开始可能有的同学理解不好，但是在一般的题目当中它都明确给出．而且在理解、掌握了其它几个概念之后，全集的问题就迎刃而解了．

不含任何元素的集合为空集. 空集是惟一的，它是任何集合的子集．

设U是一个集合，A是U的一个子集，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做集合A在全集U中的补集(或余集)．记作，可以用集合的形式写出来：．补集其实就是集合的一种运算了．

了解完这些基本概念之后，我们来看一下集合的运算．由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合叫做集合A与B的交集，记为A∩B（读作“A交B”），即A∩B＝{x｜x∈A，且x∈B}．

例如：（1）{3，6，9，12，15}∩{5，10，15，20，25}＝{15}；（2）{二年级男生}∩{二年级三好学生}＝{二年级的男三好学生}．

用Venn表示如下：（划斜线部分表示交集）

如果集合A和集合B（都不是空集）没有共同的元素．即A∩B＝，我们就说A与B是不相交集．

例如：{1，3，5，7，9}∩{2，4，6，8，10}＝．

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B（读作“A并B”），即A∪B={x｜x∈A，或x∈B}．

这里要注意，若A、B有共同的元素，只列举一次．例如：

A＝{数学小组同学}＝{李明，王平，张红，宋军}．

B＝{航模小组同学}＝{张红，宋军，何光，方强，刘华}．

A∪B＝{数学小组同学}∪{航模小组同学}．

　　     ＝{李明，王平，张红，宋军，何光，方强，刘华}．

用Venn表示如下：（划线部分表示并集）．

若A、B是不相交的集合，这两个集合所有的元素合在一起就是它们的并集．例如：{1，3，5，7}∪{2，4，6}＝{1，2，3，4，5，6，7}．

还有两个特殊数集需要注意：偶数集：形如2n（n∈Z）的整数叫做偶数；全体偶数的集合简称偶数集．{x|x=2n，n∈Z}．奇数集：形如2n+1（n∈Z）的整数叫做奇数；全体奇数的集合简称奇数集．{x|x=2n+1，n∈Z}．

集合在运算中还常常应用一些性质，我们把它总结如下：

    1． 对于任何集合A、B，有：

（1）A∩A=A，A∩=，A∩B=B∩A；（2）；（3）．

2．对于任何集合A、B，有：

（1）A∪A=A，A∪=A，A∪B=B∪A；（2）；（3）．

3．．

4．UA∩UB=U（A∪B），UA∪UB=U（A∩B）．

    集合的运算其实考察的就是以上的知识，在学习时一开始可能不好理解，但只要从最基本的概念出发，牢固掌握好集合的定义、性质以及本节的子集、全集、补集、空集的概念，然后在此基础之上进行集合的运算．相信不会有问题．

解：（1）法一：推理分析（较繁）可得.

　　　　　　法二：利用“韦恩图”直观分析易得.

　　　　（2）由①为真，得m<1；由②为真，得7-3m>1，即m<2．于是当①、②同为真时，m<1．故要使①、②有且只有一个为真，则 .

　 　　　　　 注：实质是以集合为全集，求集合的补集.

　　　　（3）设不等式①、②、③的解集分别为Ａ、Ｂ、Ｃ，则本题转化为求满足的实数的范围．而设则应满足即于是所求范围是

解 ：； 对于B，由，即．结合数轴可知；

 ；  ；．

分析：集合Ｐ、Ｑ都表示点集，且分别对应着圆面，故可利用平面几何知识与数形结合思想求解．

解：点集P表示平面上以（-2，3）为圆心，2为半径的圆面，记为，点集Q表示以（1，m）为圆心，为半径的圆面（不含圆周），记为，由得,此表明在的内部，故有，即，得，所以，所求m的范围是．

点评：本题关键在于理解集合的意义，将集合语言化为平几语言，再转化为代数语言．

参考答案：

1． 解：  .∴UA=， 

UB= ，，，

A∪UB=，UA∪UB=，

UA∩UB=．

2．解：由题意得： =x，或=3．
　　1） 当=x时，　解得 =0，=1　．集合元素的互异性矛盾，　故舍去1．
　　2） 当=3时，解得=，=－　．所以　=0，=，=－　

3．解：由A∩B={ x|1≤x＜5 } 知[1，5)B，又A＝(－2，5)，A∪B=[－3，5)，∴[－3，－2)B.   ∴B=[－3,－2)∪[1，5). 

4．解：∵A={x½x<-}，∴必须-≤-1 ，即p≥4．

　　

　　参考答案：

5．解：A={0，-4}；（1）∵A∩B=B，∴BÍA，

　　　　　　若0ÎB，则，解得a=±1，检验正确；

　　　　　　若-4ÎB，则，解得，，检验：当时，B={-12，-4}，

　　　　　　若B=f，解得a<-1，

　　　　　　综上所述，a≤-1或a=1

　　　　　（2）A∪B=B，∴AÍB，

　　　　　　∵A={0，-4}，而B中最多有两个元素，∴A=B，即a=1

6．解：为方程的根，  代入方程：

    解得   

7．解：设即参加数学小组，又参加物理小组的有x人，仅参加数学小组的有25-x，仅参加物理小组的有32-x人，因此，至少参加一个组的有25-x+x+32-x=57-x；故，解得7≤x≤25.