知识导学

函数的性质在我们以后的学习中要经常用到，课本中只介绍了函数的单调性，但是函数的其它几个性质：奇偶性，对称性和周期性也对我们很有帮助，现在就把函数的性质来综合的学习一下．

一、函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于整个高中数学．

一般地，设函数的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，当时都有，那么就说在这个区间上是增（减）函数．

就它的定义需要注意：

（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来研究，如反比例函数，在内分别单调递减，不能说它在定义域内是减函数．函数的增减区间是其定义域的子集，若函数在其定义域上是递增（或递减）函数，则称此函数为单调函数．

（2）函数f(x)在给定区间上的单调性，反映函数f(x)在区间上函数值的变化趋势，f(x)在(a，b）上，在(b，c)上具有相同的单调性，但f(x)在（a，c）上不一定单调．

（3）在定义函数单调性时，，在定义域中任意性的本质，是把比较区间上无限多个函数值的大小问题转化为两个任意值比大小的问题．

（4）若要证明f(x)在给定区间上不是单调递增（或递减）的，只需举出反例就可以了．

要了解函数某一区间是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格地说，它需要根据函数单调性的定义进行证明．用定义法证明函数单调的一般步骤：

（1）设是给定区间上的任意两个值，且；

（2）作差变形，一般化成几个因子积的形式；

（3）确定的符号；

（4）下结论．

二、函数的奇偶性也是非常重要的性质，应用十分广泛．

如果对于函数f(x)的定义域内的任意x都有f（-x）=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数；如果对于函数f(x)的定义域内的任意x都有f（-x）=-f（x），那么函数f(x)叫做奇函数．

由定义知，f(x)和f（-x）都有意义，从而知x在定义内，-x也一定在定义域内，又x是定义内的任意一个值，因此奇偶函数的定义域关于原点对称，它是函数具有奇偶性的必要条件．若函数f（x）的定义域关于原点不对称，则函数不具有奇偶性，即函数为非奇非偶函数．

若函数f(x)的定义域中至少有两个元素，而且f(x)既是奇函数又是偶函数，因而定义域中有非零元素，且对任何x≠0有 ，由（1）和（2）得-f（x）=f(x)，即2f(x)=0，f(x)=0．

由此可知，函数f(x)=0（x≠0）是f(x)是奇函数又是偶函数的一个必要条件．因为确定一个函数必须有定义域和对应法则，因此，任何一个关于原点对称的区间都可以作为解析式为f(x)=0（x≠0）函数的定义域．故既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个．因此，函数奇偶的分类为：①奇函数；②偶函数；③非奇非偶函数；④既是奇函数又是偶函数．

例如判定函数的奇偶性．易知定义域是{-1，1}，又f(x)=0．故函数f(x)既是奇函数又是偶函数．

偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；为偶函数．若奇函数的定义域包含，则．

由定义可知，判定函数奇偶性的步骤是：（1）确定函数的定义域是否关于原点对称；（2）计算f（-x）的值，判定f（-x）与f（x）的关系；（3）根据（1）和（2）做出结论．

判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：，．如果设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇．

三、函数的对称性包括两个方面：

（一）函数图象本身的对称性（自身对称）．

1．函数满足（T为常数）的充要条件是的图象关于直线对称．

2．函数满足（T为常数）的充要条件是的图象关于直线对称．

3．函数满足的充要条件是图象关于直线对称．

4．如果函数满足且，（和是不相等的常数），则是以为为周期的周期函数．

5．如果奇函数满足（），则函数是以4T为周期的周期性函数．

6．如果偶函数满足（），则函数是以2T为周期的周期性函数．

（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）．

1．曲线与关于X轴对称．

2．曲线与关于Y轴对称．

3．曲线与关于直线对称．

4．曲线关于直线对称曲线为．

5．曲线关于直线对称曲线为．

6．曲线关于直线对称曲线为．

7．曲线关于点对称曲线为．

这部分内容涉及到下节课的函数图像和高二的解析几何知识，同学们可以作为拓展资料作为了解内容，也可以学完这些知识之后在回头来看一看．另外函数还有很多其它的性质，我们到大学里会进一步学习．

解析：由题意可知：xf(x)＜0

∴x∈(－3，0)∪(0，3)

解：（1）由得其定义域不对称于原点，所以f(x)是非奇非偶函数

（2）由得，因此f(x)=0既是奇函数又是偶函数

解：（I）∵x=是函数y=f(x)的图像的对称轴，∴sin(2×+)=±1，

∴+=kπ+，k∈Z.∵-π<<0，∴=-.

（II）由（I）知=-，因此y=sin(2x-).

由题意得2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈Z.

所以函数y=sin(2x-)的单调增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z.

解：设x<0，则-x>0．

所以．

又因为f（x）是奇函数，

所以f（-x）=-f（x）．

所以，于是．

故所求的函数的表达式为

解：要使f（x）为奇函数，则应有f（-x）=-f（x）．

即对一切实数x都成立．

比较两边对应项的系数，得

解得．

当m=-1，n=-2时，f（x）=-2x是奇函数；

当m=1，n=-2时，f（x）=0，它既是奇函数又是偶函数．

评注：此题解法运用了奇函数的定义，而且用了待定系数法，使问题得解．

解：令是偶函数，所以．

而．

又f（x）是偶函数，所以f（-x）=f（x）．

即

恒成立；

从而得m=0，即．

因为-1<0，对称轴x=0．所以f（x）在（0，+∞）上是减函数，又，所以．

故．

参考答案：

1．2．（1，0）3．　4．y轴即　5．①y轴②　6．①②　　7．②④

8．D　由得，又∵f(x)在R上递减，∴，解得-1<a<0．故选D．

9．C　由已知，∴，又f(x)在（-∞，0）为增函数，故，∵，，∴，再利用f(x)为偶函数，则，故．故选C．

参考答案：

10．

11．方程的根为共9个根．

参考答案：

12．解：设，则

∵，

∴，，，．

∴，

即．

故函数_在（-1，0）内是增函数．

13．解：由．又f（1）=2，即a+1=2b．而f(2)<3，即，解得，又a∈Z，

∴a=0或a=1．若a=0，则，不合题意；若a=1，则b=1∈Z，故a=b=1，c=0．

参考答案：

14．解：∵，f(x)在[n，n+1]上是增函数，由此值域中共有2n+2个整数．

15．证明：令x=y=0，有f(0)+f(0)=2f(0)·f(0)

因为f(0) ≠0，所以f(0)=1，令x=0，则有f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y)，所以f(-y)=f(y)

即f(x)为偶函数．

16．证明：由于x∈[-1，1]，且f(x)为奇函数．

∴

∴，设

则

∴f(x)在[-1，1]上是单调递增的．

参考答案：

17．证明：当x>0时，-x<0，∴；

当x<0时，-x>0，∴；

当x=0时，．

故函数f(x)是奇函数．

18．解：（1）∵ ∴

（2）∵f(3)=1，f(a)>f(a-1)+2∴，∴

∵f(x)是增函数，∴，∴，又a>0，a-1>0

∴a的取值范围是．

19．解：（1）由已知得，∴，

∴c=1，故，

（2）∵ 又

设，则，

当4-λ≥0即λ≤4时，ψ(x)在（-∞，-1）上是减函数．

同理，当λ≥4时，ψ(x)在（-1，0）上是增函数．

综上可知，当λ=4时，ψ(x)在（-∞，-1）上是减函数，并且在（-1，0）上是增函数．