知识导学

　　同学们都会骑自行车吧，那你可以从中发现我们这节课学习的幂函数的影子吗？如果我们在t秒内行进了1km，那么我们骑车的平均速度v是多少呢？能不能把v表示成t的函数呢？是不是我们本节学习的幂函数呢？同学们自己算一算．

　　由于对幂函数的要求不高，我们只需对它们的图象与基本性质进行认识，不必在一般的幂函数上作过多了解．建议同学们从实际生活中找一找五个常用的幂函数，并由此概括它们的共性．在五个幂函数中， 对于的图象是我们以前学过的．对两个幂函数，可以用描点法作出图象，也可以直接用计算器或计算机作出图象再加以认识．
　　在解决基本性质的问题时，建议同学们利用类比的数学思想，类比前面研究一般的函数、指数函数、对数函数等过程中的思想方法，研究幂函数的性质．

　　下面是五种幂函数的图象，供同学们参考．

五种幂函数的图象

典型例题

　　例1．若上述函数中是幂函数的个数为（　　）
　　　　　（A）1个　　（B）2个　（C）3个　（D）4个

　 分析　幂函数是形如的函数，其结构特征是：函数右边为单项式，幂指数为常数，底数为自变量，前面的系数为1．从这四个特点，我们可以判断：
中，前的系数为4，故不为幂函数，为二项式，底数为，而中自变量x在指数位置，

　　故只有，为幂函数，应选B．

　　例2．讨论函数的定义域、奇偶性，作出它的图象．并根据图象说明函数的增减性．

　　解：函数，定义域是实数集．
　　因为
　　所以函数是偶函数．
　　因此它的图象关于轴对称．
　　作这个函数在上的图象：
　　列表作图：

	0	1	2	3	4	……
	0	1	1.59	2.08	2.52	……

　　再根据这个函数的图象关于轴对称，作出它的图象，如图所示．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　由它的图象可以看出，这个函数在区间上是减函数，在区间上是增函数．

　　例3．比较下列两个代数式值的大小：
　　（1）　　　　　　（2）

　　解：（1）考察幂函数，在第一象限内，的值随的增大而增大．
　　因为，
　　所以．
　　（2）考察幂函数，在第一象限内，的值随的增大而减小．
　　因为

　　所以 ．

 

习题精选

　　1．比较下列各组中三个值的大小，并说明理由：
　　（1），（2）．
　　2．某公司经过市场调查发现，某种商品在最初上市的几个月内销路很好，几乎能将所生产的产品全部销售出去．为了追求最大的利润，该公司计划从当月开始，每月让产品生产量递增，且10个月后将该商品的生产量翻两番，求平均每月生产量的增长率．

参考答案：
　　1．（1）考察函数，因为，所以它在是增函数．
　　　　又，∴．
　　　　再考察函数，因为，所以它在上是增函数．
　　　　又，∴，∴．
　　　（2），
　　　　　　考察函数，因为，所以它在上是增函数，
　　　　　　∴．
　　2．平均每月生产量的增长率为x％，则依题意得，
　　　两边同时取对数得，
　　　利用计算器求得．
　　　得．

　　答：平均每月生产量的增长率约为14.87％．

　　3．是幂函数又是二次函数，则这个函数是．
　　4．已知幂函数的图象经过点，那么这个幂函数的解析式为__________．

　　参考答案：

　　3．；　4．．

　　5．下列函数中是幂函数的是（ 　）
　　（A）　　（B）　　　（C）　　　（D）
　　6．下列结论中，正确的是（　　）
　　（A）幂函数的图象都通过点（0，0），（1，1）
　　（B）幂函数的图象可以出现在第四象限
　　（C）当幂指数取1，2，3，时，幂函数是增函数
　　（D）当幂指数时，幂函数是减函数
　　7．下列命题中，不正确的是（　　）
　　（A）幂函数是奇函数
　　（B）幂函数是偶函数
　　（C）幂函数既是奇函数又是偶函数
　　（D）幂函数既不是奇函数也不是偶函数
　　8．如图所示，曲线是幂函数在第一象限内的图象．已知n分别取±1，，2四个值，相应与曲线的n依次为（　　）
　　（A）－1，，1，2　　　　　　　　　（B）2，1，，－1
　　（C），－1，2， 　　　　　　　（D）2，，－1，