下面我们来看一下高中阶段我们应该掌握的双曲线的知识：

一、双曲线的几何性质

1．变元范围

由双曲线的标准方程：（a>０，b>０）知x≥a，x≤－a，说明双曲线在不等式x≥a与x≤－a所表示的区域内，即双曲线在两直线x＝a，x＝－a的外侧，无限延展的．

2．对称轴及中心

（1）双曲线（a>０，b>０）关于两个坐标轴和原点都是对称的，坐标轴x轴和y轴是双曲线的对称轴，原点(0，0)是双曲线的对称中心．

（2）双曲线的对称中心(0，0)叫做双曲线的中心．

3．顶点及长短轴

（1）双曲线(a>０，b>０)与x轴有两个交点(－a,０)、(a,０)，这两个交点叫做双曲线的顶点．双曲线与y轴没有交点，但我们把(０,－b)、(０,b)也注明在y轴上．

（2）线段叫做双曲线的实轴，它的长等于2a，a叫做双曲线的实半轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b，b叫做双曲线的虚半轴长．

（3）实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．

4．渐进线

（1）双曲线（a>０，b>０）的渐进线方程为：．

（2）双曲线（a>０，b>０）的渐进线方程为：．

5．离心率

（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率．

（2）e的范围：e>1(c>a>0)

（3）e的含义：

两条渐进线所构成的角（指的是与实轴的夹角）0双曲线的开口越小．

两条渐进线所构成的角（指的是与实轴的夹角）大双曲线的开口越大．

所以说：双曲线的离心率e是表示双曲线的开口大小的一个量，e越小开口就越小，e越大开口也就越大．

6．准线方程

（1）双曲线（a>０，b>０）的准线方程为：．

（2）双曲线（a>０，b>０）的准线方程为：．

7．焦半径公式

（1）若P（x，y）在双曲线的右支上，则：；．

（2）若P（x，y）在双曲线的左支上，则：；．

（3）下面结合图形加以说明：

①如图(1)所示：

∵

如图(2)所示：

∵

②如图(3)所示：

∵

如图(4)所示：

∵

二、共轭双曲线

若以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线．

双曲线 ，与 是互为共轭双曲线；互为共轭双曲线有相同的渐进线．

三、直线与双曲线的位置关系

直线与双曲线的位置关系为相交、相切和相离．研究直线与双曲线的位置关系，一般通过解直线方程与双曲线方程所组成的方程组：

对解的个数进行讨论，

（1）有两组不同实数解（△＞0）时，直线与双曲线相交；

（2）有两组相同的实数解（△＝0）时，直线与双曲线相切；

（3）无实数解（△＜0）时，直线与双曲线相离．

直线与双曲线相切时，双曲线上一点Ｍ（，）处的切线为；与双曲线相切，斜率为k的切线为．

直线与双曲线相交时，一定要注意直线与双曲线渐近线的关系．

典型例题

例1．求与双曲线共渐近线且过点的双曲线方程及离心率．

例2．已知双曲线的渐近线方程为，两条准线间的距离为，求双曲线标准方程．

习题精选

1．已知双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的（     ）

A．焦距为10       B．实轴和虚轴长分别是8和6　　　C．离心率是或       D．离心率不确定

2．若方程表示的曲线是一组双曲线，则这组双曲线（     ）

A．有相同的实轴和虚轴       B．有共同的焦点　　　C．有共同的准线    D．有相同的离心率

3．如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是8，那么点到它的右准线的距离是（　　）

A．          B．10            C．              D．

4．经过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是（  　）

A． 　　B． 　　C．  　　D．

5．若双曲线的两渐近线夹角为，则此双曲线的离心率为（　　）

A．            B．            C．或           D．以上答案都不对

6．双曲线的两条渐近线的夹角是（　　）

A．       B．C．     D．

7．已知双曲线的一条渐近线是，焦点在轴上，则该双曲线方程必是（　　）

A．         B．
C．（）    D．（）

8．已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，双曲线的方程应是（　　）

A．      B．C．      D．

9．已知双曲线（，）的离心率为，、分别是它的左顶点和右焦点，设，则为（　　）

A．         B．         C．         D．

10．双曲线的右准线与渐近线在第一象限的交点和右焦点连线的斜率是（　　）

A．         B．         C．         D．

11．与双曲线有相同的渐近线且过点点的双曲线方程是______．

12．两条渐近线方程为，一个焦点是（0，4）的双曲线方程是________．

13．双曲线的两条准线分顶点间距离为三等分，则此双曲线的离心率为______．

14．双曲线上一点到左焦点距离为8，则它到右准线距离为_______．

15．对称轴为坐标轴的双曲线的准线与渐近线的一个交点是，则双曲线方程是_________．

16．在双曲线上的一支上不同的三点，，与焦点的距离成等差数列．①试求；②证明线段的垂直平分线经过某一定点，并求该定点坐标．

17．求双曲线，被点平分的弦的方程．