知识导学

以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线．在平面直角坐标系中研究直线时，就是利用直线与方程的这种关系，建立直线的方程的概念，并通过方程来研究直线的有关问题.为此，我们先研究直线的倾斜角和斜率．

在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角．当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°．因此，根据定义，我们可以得到倾斜角的取值范围是0°≤＜180°．

倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示.倾斜角是的直线没有斜率．

为使大家巩固倾斜角和斜率的概念，我们来看下面的题．

关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的：

A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；

B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；

C.平行于轴的直线的倾斜角是0或π；

D.两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等；

E.直线斜率的范围是(－∞，＋∞).

辨析：上述说法中，E正确，其余均错误，原因是：A.与x轴垂直的直线倾斜角为，但斜率不存在；B.举反例说明，120°＞30°，但＝－＜；C.平行于轴的直线的倾斜角为0；D.如果两直线的倾斜角都是，但斜率不存在，也就谈不上相等．

说明：①当直线和轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°；②直线倾斜角的取值范围是；③倾斜角是90°的直线没有斜率．

如果我们已知直线的倾斜角的取值范围，可以利用正切函数的性质，讨论直线斜率及其绝对值的变化情况：

(1)

作出在区间内的函数图象；由图象观察可知：当∈，＞0，并且随着的增大，不断增大，也不断增大.

所以，当∈时，随着倾斜角的不断增大，直线斜率不断增大，直线斜率的绝对值也不断增大.

(2)

作出在区间内的函数图象，由图象观察可知：当∈，＜0，并且随着的增大，不断增大，不断减小.

所以当∈时，随着倾斜角的不断增大，直线的斜率不断增大，但直线斜率的绝对值不断减小.

针对以上结论，虽然有当∈，随着增大直线斜率不断增大；当∈，随着增大直线斜率不断增大.但是当∈∪时，随着的增大直线斜率不断增大却是一个错误结论.原因在于正切函数在区间内为单调增函数，在区间内也是单调增函数，但在∪区间内，却不具有单调性

在坐标平面内，如果已知两点P₁(x₁，y₁)、P₂(x₂，y₂)，那么直线P₁P₂就是确定的，当直线P₁P₂的倾斜角不等于90°时，这条直线的斜率也是确定的．设向量的方向是向上的，向量的坐标是(x₂－x₁，y₂－y₁)，过原点作向量，则点P的坐标是(x₂－x₁，y₂－y₁)．若向量的方向向上时，向量的坐标是(x₁－x₂，y₁－y₂)．向量及与它平行的向量都称为直线的方向向量．