太陽與九大行星的正確大小比例

      

　　有一天当你在适当距离的太空中，望着月球或地球时，你一定会认为球体是空间中最优雅美丽的立体．“适当的距离”很重要：太远了．就像你在地上举头望明月．不太像是个球体．只有圆盘的感觉；太近了，就像只缘生在地球上的人．没法直接看清地球的形状．

　　从船舰入港，先见其桅，麦哲伦之壮举，都可推知：地面是弯曲的，可绕回原地的．但从纯几何的观点来看．月蚀时，地球的阴影总是圆形的这件事，更可肯定地是球形的，因为各个方向的投影都是圆形的几何体一定是球体；古时候很多天文学者就是因此相信地是球说．

　　和球体有关的数学，一方面来自天文、地理，如球面三角学、球面几何学、地图及着色问题等；另一方面从纯数学的观点，探讨球体的性质，如球体的体积、表面积、（内接）正多面体等．我们主要说一下球体体积．

　　求球体体积最主要的人物，在中国为南北朝的祖暅，在西方则数阿基米德．前者善用祖暅原理，后者则长于杠杆原理，把这个看来无从下手的问题给解决了．

刘徽与祖氏父子求球体积

　　《九章算术》是中国古代最早的著名数学专著之一，它是由许多数学家合作编写，并经过几代人的修订改编，最后完成于西汉末年，距今已有两千多年了．书中计算球体积的公式以现在的表述方式是，其圆周率取的是3.375．按照这个公式来计算球体体积，误差实在太大了．过了二百多年，即公元263年前后，刘徽在给该书作注解时，发现这个公式存在问题．

　　刘徽是中国古代最优秀的数学家之一，他生活在三国时期的魏国，有关他的生平事迹和生卒年代等情况，现代人们知道的很少．他在反复研读《九章算术》的过程中，发现了很多不尽如人意之处，便决定对该书作一个详细的注解．他获得的许多重要的数学成就都包含在这些注解当中．此外，他还研究过天文、历法，从事过度量衡的考校工作．当刘徽发现了球体积公式存在着过大的误差后，便决心推算出精确的公式来．他先是用两个半径都等于R的圆柱面，让其轴线互相垂直并相交，于是，这两个圆柱面的公共部分正好把半径为R的球体包含在内，这个公共部分的外形就像一个既圆又方的盒子(如图)，刘徽给它起了一个名字，叫做“牟合方盖”．两个对接的烟筒在拐弯处的形状就像牟合方盖的一个角．然后刘徽想，若用一个与底面平行的平面去截它们，那么球的截面肯定是圆，而牟合方盖的截面刚好是一个正方形；无论截面高低如何，其形状只不过是大小有所不同罢了．

　　假定圆半径是1，则圆面积就等于π，而正方形面积就等于4，即任意正方形与其内切圆的面积之比都是4∶π．既然牟合方盖与其内切球体的任意截面积之比都是4∶π，那么两者的体积之比也应该是4∶π，即球体积牟合方盖的体积．

　　刘徽在这里用到了一个重要的截面原理：如果两个等高的立体，用平行于底面的平面截得的截面积之比为一定值，则这两个立体的体积之比也等于该定值．这个原理现在称为“刘徽原理”．因此，他把计算球体积的问题转化为计算牟合方盖体积的问题了．换句话说，只要求出牟合方盖的体积，就可得到球体积公式了．尽管如此，可计算牟合方盖的体积也并非易事．刘徽绞尽脑汁也没有达到预期目的，他最后只好把上述结果详述在注解里，并希望后人看到这个问题，接着来完成他未竟的事业．又过了二百多年，我国南北朝时期的伟大科学家祖冲之的儿子祖暅接着研究这个问题．虽然祖暅仍循着刘徽的思路，设法解决牟合方盖的体积问题，但其方法独特而新颖，巧妙地求出了球体体积．

　　祖暅作了一个边长为2R且外切于牟合方盖的正方体，该正方体的体积是，他想，只要算出正方体和牟合方盖的体积之差就可获得牟合方盖的体积，从而获得球体积．他以牟合方盖的为例来说明体积差是如何求出来的．他首先做一个倒立的正四棱锥，其底边长与高均为R，体积差的与四棱锥高相等，而且与底面平行的任意平面截这两个立体，所得截面的面积也相等(两个阴影部分)．设截面的高为h，则四棱锥的截面积为，体积差的的截面积为：．推算到这里，祖暅说了这样一句话：“幂势既同，则积不容异．”意思是说，既然两个立体的截面积处处相同，则其体积不可能相异．因此，牟合方盖体积的，牟合方盖的体积，再根据刘徽已导出的结论，祖暅终于获得了正确的计算球体体积的公式：．当然这是以现代数学的形式来表述的，中国古代的表述要比这复杂的多．

　　祖暅上面的那段原话，就是现在中学课本阅读材料里所说的“祖暅原理”：用平行于底面的平面去截两个等高的立体，如果所得的两个截面积处处相等，则这两个立体的体积就相等．这条原理实际上是刘徽原理的一个特例，即当刘徽原理中的定值为1的时候，就得到了祖暅原理的结论．这个原理就是立体几何中的截面原理，虽然在中国它是推导球体积公式的一个副产品，但是它的结论比球体积公式更为重要．

阿基米德求球体积

　　阿基米德（Archimedes）于公元前287年出生在意大利半岛南端西西里岛的叙拉古，公元前212年于同地被害．

　　近代数学史家倍尔（Eric Temple Bell,1883~1960）曾说过：“任何一张关于有史以来最伟大的数学家的名单中，必定会包括阿基米德．另外两个通常是牛顿和高斯．不过，以他们的丰功伟绩和所处的时代背景来对比，拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德．”传说在阿基米德晚年，在叙拉古与它的盟国罗马共和国分裂后，罗马派了一支舰队来围城．当时阿基米德负责城防工作，他设计制造了一些灵巧的机械来摧毁敌人的舰队．他用投火器将燃烧的东西弹出去烧敌人的船舰，用一些起重机械把敌人的船只吊起掀翻，以至后来罗马人甚至不敢过分靠近城墙，只要看见城墙出现象绳子之类的玩意儿，就吓得赶快逃跑．

　　然而三年以后，即在公元前212年，该城还是被攻陷了．

　　据说罗马兵入城时，统帅马塞拉斯出于敬佩阿基米德的才能，曾下令不准伤害这位贤能．而阿基米德似乎并不知道城池已破，又重新沉迷于数学的深思之中．

　　一个罗马士兵突然出现在他面前，命令他到马塞拉斯那里去，遭到阿基米德的严词拒绝，于是阿基米德不幸死在了这个士兵的刀剑之下．

　　另一种说法是：罗马士兵闯入阿基米德的住宅，看见一位老人在地上埋头作几何图形（还有一种说法他在沙滩上画图），士兵将图踩坏，阿基米德怒斥士兵：“不要弄坏我的圆！”士兵拔出短剑，这位旷世绝伦的大科学家，竟如此地在愚昧无知的罗马士兵手下丧生了．

　　马塞拉斯对于阿基米德的死深感悲痛．他将杀死阿基米德的士兵当作杀人犯予以处决，并为阿基米德修了一座陵墓，在墓碑上根据阿基米德生前的遗愿，刻上了"圆柱容球"这一几何图形．

　　随着时间的流逝，阿基米德的陵墓被荒草湮没了．后来，西西里岛的会计官、政治家、哲学家西塞罗（公元前106~前43年）游历叙拉古时，在荒草发现了一块刻有圆柱容球图形的墓碑，依此辩认出这就是阿基米德的坟墓，并将它重新修复了．

　　阿基米德为什么希望在自己的墓碑上刻上圆柱容球的图形呢？这是因为，阿基米德在他的许许多多的科学发现当中，以圆柱容球定理最为得意．

　　圆柱容球定理是这样的：

　　图中所示的圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球．在圆柱容球中，球的体积是圆柱体积的，球的表面积也是圆柱全面积的．

　　在今天看来这个定理不难证明．事实上：

　　设圆的半径为R，球的体积与圆柱的体积分别为及 ，球的表面积与圆柱的全面积分别为及，则有， ，，，．

　　但是在阿基米德之前，人们还不知道球的面积公式和体积公式．正如A·艾鲍博士在《早期数学史选篇》中所说的：如果说欧几里德《几何原本》是前人工作的汇编的话，那么，阿基米德的每一篇论文都为数学知识宝库作出了崭新的贡献．尤其令人惊叹的是，阿基米德对于圆柱容球定理的证明，用的竟是从杠杆原理开始谈起的力学方法！阿基米德解题时一向以其特殊之策略与严谨之论证著称．只是由于他的想法有时相当奇特，以至于很难看出其数学洞见之由来．阿基米得除擅长于纯数学思考外，对物理原理之应用似乎也是信手拈来，驾轻就熟．尤其以物理原理解数学问题的想法更是一绝．例如以杠杆原理求得球体体积则是其具体运用之极致．我们且看杠杆原理如何和球体积挂钩．

　　如上图，先看左下角的圆及直角三角形．将它们绕圆的直径AB一圈，就得一半径为r的球体和高及底面半径各为2r的圆锥体．考虑离A点h处的截面．设此处球体截面圆盘的半径为a．则截面积为（因为)，而圆锥体截面的半径为h；所以其面积为．两者相加再乘以2r，则得等式的左边可看成将两截面挂在杠杆左端C点(与平衡O的距离为2r) 所得的力矩．以类似想法，等式的右边则看成一半径为2r的圆盘挂F点(与O点的距离为h)所得的力矩．左右两式相等表示杠杆呈平衡状态．现在变动截面，将球体及圆锥体的所有截面全挂C点，那C点挂的是一个球体和一个圆锥体．为维持平衡，杠杆右边的每一点都要挂上一个半径为2r的圆盘；这些圆盘组成了一个高及半径各为2r的圆柱体（将杠杆图右下角的长方形绕中线A'B' 一圈所得的就是）．由于对称的关系．这个圆柱体可看成是挂OD的中点E上．亦即在E点所挂之圆柱体可以和C点所挂之球体及圆锥体在力矩上达成平衡．假设球体、圆锥体及圆柱体之密度相等，依杠杆原理就得2r×(球体体积+圆锥体体积)=r×圆柱体体积．因为圆柱体及圆锥体的体积各为及，由上式马上就可以导出球体的体积为．这仅仅是球的体积相关的知识，请你自己探究一下球的其他性质．