知识导学

我们这里研究的函数的连续性包括两类：函数在某一点的连续性和在区间的连续性，先来看一下函数在某一点的连续性，函数f(x)在点x=x₀处连续必须满足下面三个条件：

1、函数f(x)在点x=x₀处有定义；

2、f(x)存在；

3、f(x)=f(x₀)，即函数f(x)在点x₀处的极限值等于这一点的函数值．如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f(x)在点x₀处不连续．

根据上面需要满足的三个条件我们可以这样理解函数在某一点的连续性：如果函数y=f(x)在点x=x₀处及其附近有定义，并且f(x)=f(x₀)，就说函数f(x)在点x₀处连续．

函数在区间连续是建立在函数在一点连续的基础上的．如果函数在开区间内每一点都连续，就说函数在开区间内连续；如果在开区间内连续，在处有，在处有，就说在闭区间上连续．

如果函数f(x)在闭区间［a，b］上是连续函数，那它的图象肯定是一条连续曲线．

我们来看这张图，它是连续的，在a、b两点的值都能取到，所以它一定有一个最高点和一个最低点，假设在x₁这点最高；那么它的函数值最大，就是说［a，b］区间上的各个点的值都不大于x₁处的值，用数学语言表示就是f(x₁)≥f(x)，x∈［a，b］，同理，设x₂是最低点，f(x₂)≤f(x)，x∈［a，b］．这是在闭区间上连续函数的一个重要性质：最大最小值定理．

分析：分类讨论不仅是解决问题的一种逻辑方法，也是一种重要的数学思想．

明确讨论对象，确立分类标准，正确进行分类，以获得阶段性的结论，最后归纳综合得出结果，是分类讨论的实施方法．本题极限式中，若不能对x以1为标准，分三种情况分别讨论，则无法获得的表达式，使解答搁浅．

讨论在与点处的连续性，若作出的图像，则可由图像的直观信息中得出结论，再据定义进行解析论证．

由于的表达式并非显式，所以须先求出的解析式，再讨论其连续性，其中极限式中含，故须分类讨论．

解：（1）求的表达式：

①当时，

②当时，

③当时，

∴

（2）讨论在点处的连续性：

∴不存在，在点处不连续

（3）讨论在点处的连续性：

 

∴，在点处连续．

解：

欲在处连续，

必须使，故

　　说明：利用连续函数的定义，可把极限转化为函数值求解．

分析：函数是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量x的取值范围，给函数补充定义，使其在R上是连续函数，一般是先求，再让即可．

解：（1）当时，有．

因此，函数的定义域是

当时，

其图象如下图．

参考答案:

1．D  2．C  3．B  4．C  5．C  6．B  7．A  8．D  9．D  10．A

11．  　　12．－4  　　13．2  　　14．  　　15．

参考答案:

16．解方程，得，则

于是  ，又由题意，

故   

17．

   

（1）当时，由得 

    

（2）当时，又有

参考答案:

18．设

由于函数在区间上是连续的，且在的值的符号是相反的，则必存在一点，使，即方程在区间内必有一根．

19．

所以函数在处右连续，在处不连续，在处左连续．连续区间为和．

20．（1）由得．由此归纳得

下面用数学归纳法证明．

（ⅰ）时，，猜想成立；

（ⅱ）时，，那么时，所以时，猜想成立．

由（ⅰ），（ⅱ），对所有，猜想成立，即．

（2）

（3）