知识导学

离散型随机变量的分布列完全决定了随机变量的取值规律，但是分布列往往不能明显而集中地表现随机变量的某些特点，例如它的取值的平均水平、集中位置、稳定与波动情况、集中与离散程度等．离散型随机变量的期望与方差就是体现上述特点的最重要的两种特征数（或数字特征）．

离散型随机变量的数学期望表示了随机变量在随机试验中所取的平均值，所以随机变量的数学期望（期望）又常称为随机变量的平均数、均值．又由于离散型随机变量的期望的计算是从它的概率分布出发，因而期望就是离散型随机变量的概率平均值．

　　课本中给出的离散型随机变量的数学期望实质上是一个不严格的定义，所以课本中涉及到的离散型随机变量所有可能取的不同值的个数是有限的，这个定义对于在离散型随机变量取有限个值是成立的．今后不作特别说明离散型随机变量的取值均为有限个不同值．

　　根据离散型随机变量的期望的概念和意义，在实际应用中，我们可以用它来解决一些问题和作出科学的决策．

　　例如，对于章前引言中的一个问题．我们设该商场国庆节在商场外的促销活动获得的经济效益为ε万元，则：

　　P(ε=10)=0.6，P(ε=-4)=0.4，

　　∴Eε=10×0.6+(-4)×0.4=4.4（万元）

　　即国庆节在当地有雨的概率是40%的情况下，在商场外促销活动的经济效益的期望为4.4万元，超过在商场内促销活动可获得的经济效益2万元．所以，商场应该选择商场外的促销活动．但应注意，对于这样一次商场外的促销活动，该商场不是赚10万，就是亏4万元．若该商场每年国庆节均重复这样的商业活动，那么，从平均意义上说，每次可获的经济效益为这个期望值．正如概率作为随机变量发生的频率一样，要在大量现象中才能显现出来．

　　关于随机变量的函数η=aε+b的期望的计算公式的理解，关键是弄清的重要条件是，从而有，i=1，2，…由此可得到η的分布列，由期望的定义求得η的数学期望Eη=aEε+b．

　　对二项分布的数学期望Eε=np的证明是一个难点，可以按以下程序进行考虑：

　　设在一次试验中某事件发生的概率p，η是k次试验中此事件发生的次数，令q=1-p，则k=1时，p(η=0)=q，p(η=1)=p，

　　Eη=0×q+1×p=p；

　　k=2时，，p(η=1)=2pq，

　　，

　　由此可知，在一次试验中，此事件平均发生p次；二次试验中，此事件平均发生2p次．由此，我们作出猜想，“若ε～B（n，p），则Eε=np”．

方差的概念较难理解，我们采用与初中代数中介绍的一组数据的方差定义类比的方法，直接定义离散型随机变量ε的方差．这样我们对离散型随机变量方差的概念的建立就不感到突然，而且理解起来也较容易．方差体现了随机变量所取的值相对于它的期望的集中与离散、稳定与波动的程度．它是继数学期望后的另一种随机变量的重要数字特征，在现实生活中有广泛的应用．

　　方差与标准差的计算较复杂，只要求能根据定义求出离散型随机变量的方差和标准差．另外，为计算方便，还直接给出了两个计算方差的简单公式：

　　①；