知识导学

函数的极限有两类：一是在无穷处的极限，二是在点处的极限．只要把这两个部分理解掌握好了，函数极限的理解也就解决了．下面我们分别来说一下．

一、当时函数的极限．

考察函数，当和时，函数的变化趋势：

（1）当时，从图象和表格上看，函数的值无限趋近于0．就是说，当时，函数的极限为0，记作．

（2）当时，类似地可得函数的值无限趋近于0．就是说，当时，函数的极限为0，记作．

还可以从差式上看，随着（或），差式无限趋近于0，即函数无限趋近于0，这说明（或）．

通过上面的例子，我们可以知道当自变量x取正值并且无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于正无穷大时，函数的极限是a，记作．

当自变量x取负值并且绝对值无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于负无穷大时，函数的极限是a，记作

如果且，那么就说当x趋向于无穷大时，函数的极限是a，记作．

三种变化方式时，函数的变化趋势与极限的关系见下表：

二、当时函数f(x)的极限．

一般地，当自变量x无限趋近于常数（但x不等于）时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋近时，函数f(x)的极限是a，记作．

包括两层意思：x从的左侧趋近于，即；x从的右侧趋近于，即．如果x从的单侧无限趋近于时，无限趋近于一个常数a，那么a叫做单侧的极限．当时，的极限叫做左极限，记作；当时，的极限叫右极限，记作．只有时，才存在．即．

显然，是双侧极限．

三、需要注意的几个问题．

1．深刻理解函数极限的概念．

无限趋近于常数a，是指与a的差的绝对值无限趋向于0，即它可以任意小，并且保持任意小．

函数当时的极限与数列{a_n}当时的极限不同，当时的极限，只有时，的极限才存在．

2．函数当时的极限与数列极限的异同．

数列{a_n}中的a_n项可以看做是n的函数，即a_n=f(n)(n∈N^*)，因此，极限，也可以看做是一种特殊的函数的极限，即．

和是两个单向极限，它们与数列的极限很相似，所不同的是，前者x在无限趋近于或的过程中一般是连续变化的，后者是n取正整数不连续地无限趋近于的．

3.在求函数当时的极限和当时的极限时，经常要结合函数的图象，从图像观察出当或当时，函数的变化趋势．

4.求某些函数f(x)的极限时，往往要先化简，再求极限．利用定义求函数在一点处的左、右极限是最常用的方法，分段函数在分点处的左、右极限与分点附近两侧的解析式有关．

分析：先作出各个函数的图像，通过观察、分析函数的图像，函数的变化趋势，根据函数的极限的定义，求出函数在点处的左、右极限以及在处的极限．

解：作出所给各函数的图像．

由图像可知：

（1），因此．

（2），因此不存在．

（3）不存在，，因此不存在．

（4）．

由函数极限的定义有：

．

说明：利用定义求函数在一点处的左、右极限是最常用的方法，分段函数在分点处的左、右极限与分点附近两侧的解析式有关，不能代错，如（1）中_。

分析：先作出函数的图像，根据函数极限的定义，观察、分析函数值的变化趋势来讨论所给函数的极限．

解：作出所给各函数的图像

由图像可知：

（1）不存在，不存在

（2）

（3）不存在．

说明：函数当时的极限与数列当时的极限不同，前者包括当时的极限，当时的极限，只有时，的极限才存在．

由于，容易错误地认为．事实上，，不存在，所以的极不存在．

    参考答案：

1．B  2．D  3．C  4．A  5．C  6．B

参考答案：

1．      ∴而因此，当时，的极限与无关．

2．例如：_.