参考答案

一、选择题

1．A    2．A    3．B    4．C    5．C    6．D    7．A    8．C

二、填空题

9．    10．15    11．    12．    13．；   14．（理）  （文）－0.5

三、解答题

15．解：（Ⅰ）

（Ⅱ）

16．（理科）解：设A＝｛甲扔一次且套中｝，B＝｛乙扔一次且套中｝．

               则．

（Ⅰ）甲套中两次而乙只套中一次的概率

 

 

 

（Ⅱ）若套中一次得1分，套不中得0分，则甲、乙两人得分相同的概率有三种情况：

①甲、乙各扔两次且均套中的概率

②甲、乙各扔两次且均只套中一次的概率

③甲、乙各扔两次且均未套中的概率

甲乙两人得分相同的概率为

（16）（文科）解：设“第i个人实验成功”为事件

                则．

（Ⅰ）二人各做一闪实验，至少有一人实验成功的概率

     

       

       

（Ⅱ）乙单独做三次实验，恰有两次成功的概率

．

17．（理科）解法一：

（Ⅰ）连结交于O，则O是的中点，连结DO．

      ∵在中，O、D均为中点，

     

      平面，平面，

      平面

（Ⅱ）设正三棱柱底面边长为2，则．

      ．

作于．

平面平面ABC，

平面．

作于F，连结DF，则．

是二面角的平面角．

在中，．

在中，．

在中，

∴二面角的大小为．

解法二：以AC的中点D为原点建立坐标系，如图，设

    则．

（Ⅰ）连接交于O，是则O是的中点，连结DO，则．

     

      则．

      平面，

      平面．

（Ⅱ），．

      设平面的法向量为，则

      即则有．令．

则．

设平面的法向量为

      即

令，解得．

二面角的余弦值为

二面角的大小为．

（文科）解法一：

（Ⅰ）平面，

．

又，

平面．

．

，

由，

得．

，

平面．

（Ⅱ）连结交于点E，取AD的中点F，连结EF，则．

或它的补角就是异面直线与直线所成的角．

由（Ⅰ）知，，则，又，在中，，．

．

则异面直线与直线所成角的余弦值为．

解法二：以A为原点建立坐标系，如图，则，．

（Ⅰ）

．

又．

平面，

（Ⅱ）

故直线与直线所成角的余弦值为．

18．解：（Ⅰ）由题意，当时，有

，解得．

当时，有

将代放，整理得由，解得．

当时，有

将代入，整理得，由，解得．

所以该数列的前三项分别为2，6，10．

（Ⅱ）由，

整理，得，

则．

．

整理，得．

由题意知．

即数列为等差数列，其中首项，公差．

．

即通项公式为．

（Ⅲ）

19．解：(1)在双曲线上任取不同三点、、，设的垂心Ｈ为．

由

及得：．　　　…①    

同理由＝０有：．… ②　

由①、②解得： ，　．

Ｈ点的坐标适合方程ｘｙ＝１，∴的垂心Ｈ也在该双曲线上．

（２）设、，(),，

由已知有： ；…③            ；…④　　

……　⑤　

由③④得：　　…⑥　　　　　由③⑥代入⑤整理得：

为所求点Ｍ的轨迹方程．

20．解：（1）函数的图象关于原点对称，

即

又，

即．

．

时，取极小值，

且．

解得．

．

（Ⅱ）当时，图象上不存在这样的两点使得结论成立．

假设图象上存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直，则由知两点处的切线斜率分别为，

，且．     （*）

，

．

．此与（*）矛盾，故假设不成立．

（Ⅲ）（理科）证明：，令得．

或时，时，．

在是减函数，且．

在上，于是时，

．