有个人问毕达哥拉斯：“尊敬的毕达哥拉斯，请告诉我，有多少学生在你的学校里听你讲课？”毕达哥拉斯回答说：“一共有这么多学生在听课，其中 这是《希腊文集》中的一道题．《希腊文集》是一本用诗歌写成的问题集．你知道有几人在听课？ 题目中存在哪些等量关系？ 设听课的学生有x人，则 解得 x＝28． 我们知道，方程是一个等式，而等式是表示了一个相等关系，对于任何应用题要想列出方程，就是从问题中找出其中的等量关系．还要搞清它的左边是什么，右边是什么，然后恰当地设出未知数，把等式左边和右边的各个量用含有已知数和未知数的代数式表示，这样得到含有未知数的等式就是我们要列的方程． 列方程解应用题的一般步骤： （1）审：审题，分析题中已知是什么、求什么，明确各数量之间的关系； （2）找：找出应用题中的等量关系； （3）设：设未知数（一般求什么，就设什么为x）； （4）列：根据需要的等量关系列出所需要的代数式，从而列出方程； （5）解：解所列出的方程，求出未知数的值； （6）答：检验所求得的解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）． 说明： （1）在一道应用题中往往含有几个未知数，应恰当选择其中一个，用字母x表示出来，然后根据数量之间的关系，将其他几个未知量用含x的代数式表示出来，一般题目问什么，就设什么为x，但也有例外，一切以求解方便为目的． （2）解答实际问题中的关键是抓住问题中的等量关系，可能存在多个等量关系，通过分析对比，找出求解相对简单的等量关系列方程． （3）在设未知数和作出解答时，都要写清单位名称． （4）列方程时，要注意方程两边是同一类量，并且单位统一． 列方程解应用题的关键是分析出实际问题的等量关系，寻找等量关系一般有三种方法： （1）从有关数量比较的关键词语中发现等量关系，并以文字形式写出来（如大、小、多、少、倍、分等）； （2）借助基本数量关系，探讨数量之间的等量关系（如路程=速度×时间）； （3）注意变化中的不变量，寻找隐含的等量关系（如行船问题中的两地之间的距离、静水中船速、水流速度不变等）． 常见列方程解应用题的几种类型： （1）和差倍分问题 基本数量关系：增长量=原有量×增长率，现有量=原有量+增长量，现有量=原有量-降低量． 寻找等量关系的方法：抓住关键性词语如共、多、少、倍、几分之几以原有量、现有量等之间的关系，推导出相等关系． （2）图形变化问题 基本数量关系：常用几何图形的面积、周长、体积等计算公式． 寻找等量关系的方法：画出相关图形，分析其中的不变量和变化量，找出关键的变化量，分析引发其它量的变化中的等量关系．如，形变面积不变，形变面积变，物体体积变化但重量不变等． （3）行程问题 基本数量关系：路程=速度×时间． 寻找等量关系的方法：形成问题的情况比较多，需要根据具体问题分析．如， ①相向问题：甲的路程+乙的路程=两地距离； ②追击问题有两种情况：第一，同地不同时，即前者的路程=后者的路程；第二．同时不同地，即前者的路程+两地距离=追者的路程； ③航行问题：路程=速度×时间，顺水速度=静水速度+ 水速，逆水速度=静水速度-水速． （4）工程问题 基本数量关系：工作总量不变，工作量=工作效率×工作时间． 寻找等量关系方法：工作效率、人员、时间等发生变化时，工作总量保持不变． （5）利润问题 基本数量关系：商品利润=商品售价-商品进价． 寻找等量关系方法：抓住价格变化对销售量、利润的影响来考虑． 以上几种等量关系的归纳，目的是帮助加深理解和记忆，切不可死记硬背，生搬硬套．重要的是平时分析问题和解决问题能力的培养，掌握解题的一般方法，自己及时总结归纳． 例1． （1）两车同时开出，相向而行，出发后多少小时相遇？ （2）两车相向而行，慢车先行28分钟，快车开出后多少小时两车相遇？ （3）两车同时开出，同向而行，如果慢车在前，出发后多少小时快车追上慢车？ 说明：行程问题一般有三种类型：（1）相遇问题；（2）追击问题；（3）流水问题．其基本等量关系分别是： （1）相遇问题；两者路程之和＝全程． （2）追击问题：快者路程－慢者路程＝被追路程． （3）流水问题：顺水速度＝静水速度＋水速；逆水速度＝静水速度－水速． 例2．某人将甲、乙两种股票同时卖出，其中甲种股票卖价1200元，盈利20％；乙种股票也卖1200元，但亏损20％，该人此次交易结果是盈利还是亏损？ 例3．已知某一铁路桥长1000米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用1分钟，整个火车完全在桥上的时间为40秒．求火车的速度． 我们设未知数，不应一定根据“求什么”来设，而应根据相等关系，具体分析，把相等关系中的未知量设为未知数． 1．某地上网费有两种收费方式，用户可以任选其一：（A）计时制：2.8元/时；（B）包月制：60元/月．此外，每一种上网方式都加收通信费1.2元/时． （1）某用户上网20小时，选择哪种上网方式比较合算？ （2）某用户每月有120元钱用于上网，选择哪种方式比较合算？ （3）请你为用户设计一个方案，使用户能合理地选择上网方式． 2．行程问题 三百七十八里关，初行健步并不难． 次日脚痛减一半，六朝才得至其返． 欲问每朝行里数，请公仔细算相还． 这首诗的意思是说，有一个人走378里路，第一天健步行走，第二天脚痛只走第一天的一半．然后，每日只走前一天一半的路程，走了6天才到目的地，问这个人每天走多少里路？ 3．百羊问题 甲赶羊群逐草牧，乙牵一羊随其后． 乙问甲羊及百否？甲云所说无差谬． 若得这般一群羊，再添半群小半群． 得你一只来方凑，玄机奥妙谁猜透？ 这首诗的意思是甲起着一群羊去放牧，乙牵着一只羊在后面，乙问甲有100只羊没有，甲回答说：“如果再加上这群羊同样多的羊，再添加这群羊的一半，再加这群羊的四分之一，连同你牵的一只羊，正好100只．”请问这群羊共有多少只？ 4．著名物理学家牛顿在他的《普通代数学》一书中提出了一个牧场养牛问题：三个牧场，面积分别是 |
