“万物皆变”——从你刚来到这个世界开始，你的身高、体重等都在随着时间在变化；行星在宇宙中的位置随时间而变化；气温随海拔而变化；火车行驶的里程随行驶时间而变化……这种一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在．我们先从具体实例来研究一下量的变化．

一个小球从10000m的高空自由落下，没落地之前小球的速度是10m/s，你能计算出速度与时间的关系吗？

小球的速度v与时间t之间的关系：．其中小球下落时间t是自变量，小球的速度v是函数值，速度10m/s是常量．此时称v是t的函数．称为函数的关系式，这是函数表示的解析法．

用列表法表示如下：

图象法：

变量、常量的概念

在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，保持不变的量叫做常量．

如在行程问题中，当时间t一定时，行走的路程s随速度v的变化而变化，那么在这个过程中，t是常量，s和v是变量，圆的面积S和半径R的关系是．在这一过程中面积S是随R的变化而变化．S、R是变量，是常量．

注意：变量和常量是相对的，在不同的研究背景下是可以相互转换的．

函数概念

在某一变化过程中有两个变量x、y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数．

如行程问题中有两个变量s与t，当t变化时，s随之发生变化，并且对于t在其取值范围内的每一个值，s都有唯一确定的值与之对应，我们就称t是自变量，s是t的函数．

表示函数关系通常的方法有三种：

（1）解析法：把两个变量的函数关系式，用一个等式来表示．这个等式叫做函数的解析表达式．

例如，，，等都是用解析式表示函数关系的．

优点：函数关系清楚，能全面地体现函数的全部特征，容易从自变量的值求出其对应函数值的值．

缺点：并非所有的函数都能用解析法表示．

（2）列表法：列出表格来表示两个变量的函数关系．

下表是某市2000年统计该市男学生各年龄组的平均身高：

优点：不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值，具有一定的直观性，简单易行．

缺点：往往只能反映局部情况．

（3）图象法：函数图象表示两个变量之间的关系．

下图是我国人口出生率变化曲线

优点：能直观形象地表示出函数的变化情况．

缺点：数量关系的精确度较差．

函数的三种表示方法都体现了函数值y随自变量x的变化情况,有时用多种形式表示函数关系，避免一种的表示形式的缺点，有利于更好的研究函数关系．

典型例题

例1．如图，在一个边长为10cm的正方形的四个角上，都剪去大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积随之发生变化．