知识导学
数学的基本观点是数学思想，它是对数学概念、数学方法和数学发现的本质认识，在初中阶段，基本的数学思想有多种，而函数思想则是最重要的数学思想之一．
大家知道，函数知识揭示了在运动与变化过程中，量与量之间存在的一般性规律，研究函数的性质与图象，即是探寻用运动、变化的观点来观察、分析问题的方法，因此，如果我们能够运用函数的观点、方法去考虑分析问题，根据问题的条件及所给数量关系，构造函数关系式，使原问题在函数关系中实现转化，再借助函数的图象与性质，就能化难为易，实现问题的解决．
典型例题
例1． 中， ，矩形 的顶点 在 上， 、 在 上， 在 上.⑴设 求 与 之间的函数关系式和自变量的取值范围；⑵连结 ，当取何值时，∥AB？并求出此时矩形DEFG的面积.
例2．某学校广场有一段25米长的旧围栏．现打算利用该围栏的一部分（或）作为一边，围造一块面积为100平方米的长方形草坪．已知整修旧围栏的价格是每米1.75元，建造新围栏的价格是每米4.5元．设利用旧围栏的长度为x米，修建草坪围栏所需的总费用为y元．
⑴求出y与x之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
⑵若计划修建费为150元，则应利用旧围栏多少米？
⑶若计划修建费只有120元，则能否完成该草坪围栏的修建任务？请说明理由．
分析：本问题中涉及两个有联系的变量，即利用旧围栏的长x米，与修建草坪围栏所需的总费用y元，我们把其中一个变量y看作另一个变量x的函数，从而把问题归结为对函数的研究，这就体现函数思想在解决实际问题中的作用．
简解：⑴由题意，得 (10<x≤25）（想一想，为什么？）
⑵由题意，得
整理，得 .  ， ∴ （米）
即应利用旧围栏12米.
⑶假设总费用为120元，能完成围建任务，则方程 一定有实数解.
整理，得 . 这与方程有实数解矛盾，∴120元不能完成围建任务.
点拨：本例是运用函数思想及方程知识对校园工程建设作出正确的预算，具有重要的现实意义．
上面两道例题，前一题是在函数思想指导下，解决了在动态过程中的某一时刻的几何问题，后一道题是用函数思想与观点解决了实际应用问题，两个问题看似有难度，但都利用函数思想作指导而一一化解．当然，利用函数思想作指导去解决的问题有多种形式与类型但万变不离其踪，把问题归纳为函数问题，再运用函数的图像，性质、法则去研究，去解决，不就化繁为简，化难为易了吗？
习题精选
分析：
（1）全球通的费用应为两种费用的和，即月基础费和通话费，神州行的费用应为通话费用；（2）运用描点法画图，但应注意自变量的取值范围；（3）可利用方程组求解，也可以根据图象回答；（4）寻求出当函数值为200元时，哪个函数所对应的自变量的值较大.
解：
（1）y1=50＋0.4x(x≥0)，y2=0.6x(x≥0)．
（2）图象如图所示.
（3）根据图中两函数图象的交点所对应的横坐标为250，所以在一个月内通话250分钟时，两种通讯方式的收费相同.
另解：
当y1=y2时， 得x=250，
即当通话250分钟时，两种通讯方式的收费相同.
（4）当通话费为200元时，由图象可知，y1所对应的自变量的值大于y2所对应的自变量的值．即选取全球通更合算.
另解：当y1=200时有0.4x＋50=200，∴x1=375；
当y2=200时有0.6x=200， ．
显然 ∴选用全球通更合算．
解：
设供应线的函数解析式为y1=k1x＋b1，需求线的函数解析式为y2=k2x＋b2，由图象知，y1的图象过点（0，60），（30，70）两点，求得 ，同理求得y2=－x＋80，令y1=y2得x=15，故生产这种计算器15万件，每个售价65元，才能使市场达到供需平衡.
1.已知直线y=2x＋1.
（1）求已知直线与y轴的交点坐标；
（2）若直线y=kx＋b与已知直线关于y轴对称，试求当x为何值时，y的值为非负数.
解：（1）当x=0时，y=1故图象与y轴的交点坐标为（0，1）
（2）由于直线y=2x＋1与x轴的交点坐标为
而直线y=kx＋b与直线y=2x＋1关于y轴对称，
所以直线必过点（0，1）和
 ∴k=－2，b=1，∴y=－2x＋1．
y=－2x＋1与x轴的交点坐标为（ ，０）
∴x≤时，y的值为非负数.
2.如图所示，平面直角坐标系中画出了函数y=kx＋b的图象.
（1）根据图象，求k，b的值； （2）在图中画出函数y=－2x＋2的图象；
（3）求x的取值范围，使函数y=kx＋b的函数值大于函数y=－2x＋2的函数值.
解：（1）∵函数y=kx＋b的图象过点（－2，0）、（0，2），
（2）图略
（3）由题意得x＋2>－2x＋2，∴x>0
3.已知一个一次函数y=kx＋b的图象经过(－3，－2)，(－1，6)两点.
（1）求此一次函数的解析式；
（2）求此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积.
解：（1）由题意得
∴所求函数为y=4x＋10．
（2）∵此函数图象交x轴于 ，交y轴于（0，10），
∴此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为：
4.已知方程 所对应的图象如图所示，试求出3a＋7b的值.
解：由图象可知b=0，即有一条直线为
同时两条直线的交点为 ，
∴方程组的解为 代入方程ax－3y=5得
 ，∴a=16，所以3a＋7b=3×16＋7×0=48
5.我市某化工厂现有甲种原料290kg，乙种原料212kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共80件.生产一件A产品需要甲种原料5kg，乙种原料1.5kg，生产成本是120元；生产一件B产品，需要甲种原料2.5kg，乙种原料3.5kg，生产成本是200元.
（1）该化工厂现有的原料能否保证生产？若能的话，有几种生产方案，请你设计出来；
（2）设生产A、B两种产品的总成本为y元，其中一种的生产件数为x，试写出y与x之间的函数关系，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案总成本最低？最低生产总成本是多少？
解：（1）设安排生产A种产品x件，则生产B种产品(80－x)件，
依题意得
解得34≤x≤36.
因为x为整数，所以x只能取34或35或36.该工厂现有的原料能保证生产，有三种生产方案：
方案一：生产A种产品34件，B种产品46件；
方案二：生产A种产品35件，B种产品45件；
方案三：生产A种产品36件，B种产品44件.
（2）设生产A种产品x件，则生产B种产品（80－x）件，y与x的关系为：
y=120x＋200(80－x)，即y=－80x＋16000(x=34，35，36).
因为y随x的增大而减小，所以x取最大值时，y有最小值.
当x=36时，y的最小值是y=－80×36＋16000=13120.
即第三种方案总成本最低，最低生产成本是13120元. |
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