知识导学

　　公元前500年，古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras)学派的弟子希勃索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的(若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数).这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”(指有理数)的哲理大相径庭．这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位．希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竟遭到沉舟身亡的惩处．

　　不可通约的本质是什么？长期以来众说纷芸，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直被认为是不可理喻的数．15世纪意大利著名画家达芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数．

　　然而，真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”．人们为了纪念希勃索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名为“无理数”——这便是“无理数”的由来．

　　首先回忆一下自然数的知识．数系的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克（Kronecker，1823-1891）说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”（克莱因《古今数学思想》第4册，上海科学技术出版社1979，41页）．零与自然数的产生源于人类在生存活动中的原始冲动，这一推测想来不会有问题，人的双手有十指与十进制的广泛使用也当然有密切关系；类似于2+3=5的事实产生了加法的概念，然而2加上几会等于1呢？由此需要定义负数：一个数的“负数”即它与该数之和等于0；进而定义减法．产生零、负自然数，合称整数；加法的重复进行产生了乘法，2×3=6就是三个2相加．然而2乘以几会等于1呢？由此需要定义倒数：一个数的“倒数” 即它与该数之积等于1，进而定义除法，产生既约分数，合称有理数．有理数包括那几部分？

　　以上过程不论用抽象的数学语言还是通俗语言来描述都容易为人接受，可以说由于计数、测量的需要而扩大了数系．

　　最早出现的无理数也与计数、测量有关．乘法的重复进行产生了乘方，2³就是三个2相乘，然而哪个数的平方会等于2呢？毕达哥拉斯学派提出了这个问题，边长为1的正方形的对角线的长度不是既约分数，那么如何表示对角线的长度，无理数的概念初步形成．

　　虽然开方运算可能产生无理数，但仿照上述办法来扩张数系会遇到困难．例如仅用开方定义新的数（例如：，后来被称为初等无理数）是不够的；就不能通过对某有理数开方而得，那么(1+)是什么？试作一比较，任何有理数总可以乘以某整数而还原成整数，但（1+）的任何次乘方却不可能得到有理数．

　　1844年柳维尔（Liouville，1809-1882）证明非代数数的存在．早在1830年，e与圆周率π被证明是无理数．由于有理数可表示成有限小数或无限循环小数，人们想到用“无限不循环小数”来定义无理数，这也是直至19世纪中叶以前的实际做法．它看起来很通俗，不明白无理数奥妙的人大体也是这样理解无理数的．但这样做遇到的困难更大：关键的问题是你无法判断一个数是无限不循环的，也不能将两个无限不循环的数进行加减乘除．

　　不循环的无限小数当然是难以认识，如果我们翻用一下托尔斯泰的名句“幸福的家庭都是幸福的；不幸的家庭各有各的不幸”，那就是：循环的小数都是一样的循环，不循环的小数各有各的不循环！16世纪德国数学家施蒂费尔（Stifel ，约1486-1567）说“当我们想把它们数出来（用十进小数表示）时， … 就发现它们无止境地往远处跑，因而没有一个无理数实质上是能被我们准确掌握住的 …．而本身缺乏准确性的东西就不能称其为真正的数 … ．所以，正如无穷大的数并非数一样，无理数也不是真正的数，而是隐藏在一种无穷迷雾后面的东西”（克莱因《古今数学思想》第1册，上海科学技术出版社1979，292页）．

　　现在可以看到无理数问题的困难所在：从开方运算的逆运算与确定边长为1的正方形的对角线长度的需要，都应当在有理数的基础上再扩大，这与以往从自然数扩大到整数、从整数扩大到有理数没有什么两样．然而在具体做法上，利用运算的逆向进行或通过对有理数进行代数运算或用代数方程的根而产生的“ 数”是不完全的，“无限不循环小数”的说法又不合理不严格．这一困难使数学史上数系的扩张停滞了两千多年．

　　数学家在定义了无理数之后依然两手空空，数学家所知道的无理数确实少的可怜.知道的最多的只是各式各样的根式，这是古希腊人早已知道的；其次是 π与e两个非代数数．那些比代数数多得多的无理数在哪儿？1900年数学家希尔伯特（Hilbert，1862-1943）提出著名的23个数学问题即包括了这一内容．若稍微追问一句“(π+e)是无理数还是有理数”？则至今都没有严密的答案．数学家心安理得的是建立了无懈可击的实数体系，在坚实的基础上，任何闲言碎语都是不足道的．无理数所体现的完美无缺、一丝不苟的纯粹理性与无孔不入、尽人皆知的世俗应用，可谓占尽天上人间风光，正是数学的魅力之所在．